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Academic Year/course: 2023/24

453 - Degree in Mathematics

27010 - Linear Geometry


Syllabus Information

Academic year:
2023/24
Subject:
27010 - Linear Geometry
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
2
Semester:
First semester
Subject type:
Compulsory
Module:
---

1. General information

Basic notions and results of a geometric nature are introduced using the previously acquired knowledge of linear algebra. The fundamental concepts of affine and Euclidean geometry are introduced, with a special focus on the plane and space. This will be especially useful in order to recognize geometric objects and their properties in other areas of mathematics and sciences.

The approaches and objectives of this module are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda; the learning activities could contribute to some extent to the achievement of the goals 4 (quality education), 5 (gender equality), 8 (decent work and economic growth), and 10 (reducing inequality).

2. Learning results

  • Operate with points, vectors, distances, and angles both in affine and Euclidean spaces, as well as the corresponding reference systems, subspaces, and their transformations.
  • Know how to solve geometrical problems on the plane and space.
  • Classify plane and space isometries determining their type and characteristic elements.
  • Classify conics and quadrics and determine their intrinsic elements.

3. Syllabus

  1. Affine spaces. Definition of affine spaces. Examples. First properties. Linear varieties and affine subspaces. Relative position of affine subspaces. New affine spaces from old. Grassmann formulas. Affine references and coordinates. Barycenter. Simple ratio. Thales, Ceva, and Menelao Theorems. Exercises.
  2. Affine morphisms. Definition of affine morphisms. Properties of affine morphisms. Examples. Homologies on the plane. Affine morphisms in coordinates. Invariant affine subspaces. Exercises.
  3. Euclidean affine spaces and motions. Euclidean affine space. Pythagorean Theorem. Distance between linear varieties. Definition of Euclidean motions. Examples. Gliding vector. Classification of Euclidean motions. Motions on the plane and three-dimensional space. Geometric interpretation. Exercises.
  4. Quadrics and affine classification. Equivalent quadratic polynomials. Invariants and classification theorems. Affine classification of conics. Three dimensional quadrics. Quadrics with center. Exercises.

4. Academic activities

Master classes: 42 hours.
Problem solving: 14 hours.
Computer classes: 4 hours.
Study: 84 hours.
Assessment tests: 6 hours.

5. Assessment system

  • Evaluation throughout the course (10%): classwork, lab exercises and individual or group projects.
  • Final exam (90%).

In addition, according to current bylaws, the student also has the right to show up to a final exam and complete the class upon passing the test.


Curso Académico: 2023/24

453 - Graduado en Matemáticas

27010 - Geometría lineal


Información del Plan Docente

Año académico:
2023/24
Asignatura:
27010 - Geometría lineal
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
453 - Graduado en Matemáticas
Créditos:
6.0
Curso:
2
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
---

1. Información básica de la asignatura

Esta asignatura constituye una primera toma de contacto del estudiante con la geometría a partir de los conocimientos de álgebra lineal previamente adquiridos. Supone una introducción a conceptos y resultados básicos de la geometría afín y la geometría Euclídea. Se presta especial atención al plano y al espacio, lo que facilita el reconocimiento de objetos y propiedades de carácter geométrico en otras ramas de las matemáticas y las ciencias.

Los planteamientos y objetivos de la asignatura están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas; en concreto, las actividades de aprendizaje previstas en esta asignatura contribuirán en alguna medida al logro de los objetivos 4 (educación de calidad), 5 (igualdad de género), 8 (trabajo decente y crecimiento económico) y 10 (reducción de las desigualdades).

2. Resultados de aprendizaje

  • Operar con puntos, vectores, distancias y ángulos en espacios afines y euclídeos, así como los correspondientes sistemas de referencia, subespacios y transformaciones.
  • Resolver problemas geométricos del plano y del espacio.
  • Clasificar isometrías del plano y del espacio determinando su tipo y elementos característicos.
  • Clasificar cónicas y cuádricas y hallar sus elementos notables.

3. Programa de la asignatura

  1. Espacios afines. Definición de espacio afín. Ejemplos. Primeras propiedades. Variedades lineales y subespacios afines. Posición relativa de subespacios afines. Nuevos subespacios afines a partir de otros. Fórmulas de Grassmann. Referencias afines y coordenadas. Baricentro. Razón simple. Los teoremas de Tales, Ceva y Menelao. Ejercicios.
  2. Aplicaciones afines. Definición de aplicación afín. Propiedades de las aplicaciones afines. Ejemplos. Homologías en el plano. Aplicaciones afines en coordenadas. Subespacios afines invariantes. Ejercicios.
  3. Espacios afines euclídeos y movimientos. Espacio afín euclídeo. Teorema de Pitágoras. Distancia entre variedades. Definición de movimiento euclídeo. Ejemplos. Vector deslizante. Clasificación de movimientos euclídeos. Movimientos en el plano y en el espacio. Interpretación geométrica. Ejercicios.
  4. Cuádricas y su clasificación afín. Polinomios cuadráticos equivalentes. Invariantes y teorema de clasificación. Clasificación afín de cónicas. Cuádricas en dimensión tres. Cuádricas con centro. Ejercicios.

4. Actividades académicas

Clases magistrales: 42 horas.
Resolución de problemas y casos: 14 horas.
Prácticas informatizadas: 4 horas.
Estudio: 84 horas.
Pruebas de evaluación: 6 horas.

5. Sistema de evaluación

  • Evaluación a lo largo del curso (10%): trabajo en clase, prácticas de ordenador y trabajos individuales o en grupo.
  • Examen final (90%).

Sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global.